矢量的定义_

矢量又称向量(Vector),最广义指线性空间中的元素。它的名称起源于物理学既有大小又有 方向的物理量,通常绘画成箭号,因以为名。例如位移、速度、加速度、力、力矩、动量、 冲量等,都是矢量。 可以用不共面的任意三个向量表示任意一个向量, 用不共线的任意两个向量表示与这 两个向量共面的任意一个向量。相互垂直的三个单位向量成为一组基底,这三个向量分别用 i,j,k 表示. 常见的向量运算有:加法,点积(内积)和叉积(外积) 。 对于 m 个向量 v1,v2,…,vm,如果存在一组不全为零的 m 个数 a1,a2,…,am, 使得 a1*v1a2*v2…am*vm = 0, 那么, 称 m 个向量 v1,v2,…,vm 线性相关。 如果这样的 m 个数不存在, 即上述向量等式仅当 a1=a2=…=am=0 时才能成立, 就称向量 v1,v2,…,vm 线性无关。 有人说,中学数学中引入向量,用向量来处理几何问题,是因为用向量比用综合几何的方法 简单、容易。这种看法是不全面的。虽然有许多问题,用向量处理确实比用综合几何方法简 单,但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。 向量之所以被引入到中学, 这是因为向量在数学中占有重要的地位。 向量作为一个既有方向 又有大小的量,在数学中是一个最基本的概念。在现代数学的发展中起着不可替代的作用。 是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。 向量是代数的对象。运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行多种运算,如, 向量的加法、减法,数与向量的乘法(数乘) ,向量与向量的数量积(也称点乘) ,向量与向 量的向量积(也称叉乘)等。向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。向量的运算 具有一系列丰富的运算性质。与数运算相比,向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。 向量是几何的对象。 向量可以用来表示空间中的点、线、面。 如果, 以坐标系的原点为起点, 向量就与空间中的点建立了一一对应关系; 一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线, 它 通过这个点且与给定向量平行;同样,一个点和一个非零向量,可以唯一确定一个平面,它 过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中,这种表示十分有用,还可以表示曲线,曲面。 因此,向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面,它也是几何研究 的对象。 向量是几何研究对象, 这种认识很重要。 在立体几何中, 可用向量来讨论空间中点、 线、面之间的位置关系;判断线线、线面、面面的平行与垂直,用向量来度量几何体:计算 长度、角度、面积等。随着数学视野不断拓展,这样的观念会给我们越来越多的用处。 向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。它不需要什么过渡。在数学中,我们有两座沟通代 数与几何的桥梁,一是向量,一是坐标系。坐标系依赖于原点的选择。向量的优越性在于可 以不依赖于原点, 空间中每一点的地位是平等的, 它不依赖坐标, 因此, 它比坐标系更一般、 更重要。一方面,通过向量的运算可以解决几何中的问题。比如,两直线是否垂直的问题, 就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题,这就实现了利用代数方法来解决几何问题。 另一方面,对于代数问题,通过向量可以给予几何的解释。比如,两个向量的点积为零,那 么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等。 向量具有丰富的物理背景。向量是连接数学和物理的一个桥梁。 物理学研究的基本量之一 是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向,又有作用点。如力、位移、速度、加速度、动量、 电场强度等都是物理学中研究的矢量, 这些量贯穿于物理学的许多分支。 矢量是现实存在的,

在日常生活中可以观察、感受到的。物理中的矢量是数学中的向量的现实原型,为数学中的 向量提供了丰富的物理背景。物理中的矢量与向量的差别只在于,矢量不但有大小和方向, 而且还要考虑作用点;而向量和作用点无关。 向量是重要的数学模型。如果,用 V 表示向量的集合,则 V 对于向量的加法()运算满足 结合律、交换律、有零元(存在零向量) ,有负元(每个向量都有与其方向相反、长度相等 的向量) ,因此,V 对于向量的加法运算构成交换群,即(V,)是交换群。V 中向量的加 法、实数域 R 中的实数与向量的乘法(数乘.)运算满足线 条基本性质,因此, V、R 对于对向量加法、数与向量乘法运算构成线性空间,即(V,R,,.)是线性空间(向量空 间) 。V 中向量的数量积运算可以刻画向量的长度,给 V 中的向量赋以长度(向量 的长度 用║ ║表示)后,V、R 对于向量的加法、实数与向量的乘法(数乘.)运算构成线性赋范 空间,即 (V, R,,.,║║)是一个线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重 要的数学模型,也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此,向量为理解抽 象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。 向量有着广泛的应用。 向量不仅在物理中有着大量的应用, 而且高维向量被广泛地用来描述 多指标的对象,从而在各个领域,包括社会科学,都有着广泛的应用。 向量简单易懂。 向量被引入中学还因为它适合中学生的认知水平。 向量的概念有着清楚的物 理背景,学生很容易懂;向量的运算并不复杂,学生掌握起来没有困难。学习向量非常有助 于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。 矢者,箭也;量者,大小也。箭是要有方向的。因此,矢量的意思就是既有大小又有方向的 量。 最初是在加利略研究力对物体的作用效果时发现, 力对物体的作用效果不只是有力的大 小决定的,也与力的作用方向有关,或者说,力对物体的作用效果是与力的大小和方向共同 决定的,然后才在这个结论的基础上定义出了矢量这个概念。