改变世界的数学公式

971年5月15日,尼加拉瓜发行了十张一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,由一些著名数学家选出十个对世界发展极有影响的公式进行表彰。这十个公式不但造福人类,而且具有典型的数学美,即简明性、和谐性、奇异性。

当然,除了这十个公式,还有一些更新更复杂的算法在深刻影响着当下的信息时代,来看看本期《瞰天下》总结的吧。

小孩子对数量的认识,几乎都是从用手指头数数开始。人类的祖先从数指头开始,逐渐累积经验,堆石子、数贝壳、树枝、竹片,而后有刻痕计数、结绳计数等,后来创造文字、数字及计数用具(如算盘、筹算、计算器等),一切都从手指头开始。嗯!可能是因为人有十只手指,计算时以手指辅助,自然就形成了十进位的观念。

这个定理中国和巴比伦人早在毕氏之前一千年就在使用,但仍被称为“毕氏定理”,主要是因为毕氏证明了定理的普遍性。据说在证明成功的当天,毕氏叫学生们宰杀了一百头牛,举行盛大的宴会来庆贺。所以,毕氏定理又有“百牛大祭”的美称。

若正方形的边长为1,对角线的长度不能用分数来表示。整数构成的分数是有理数,不能写作整数与整数比的数称为无理数。无理数的存在是毕氏学派首先发现,也是数学史上重要的里程碑。

阿基米德说:“给我一个支点,我就可以移动地球!”希腊国王要求他证明,他便借了一艘大船,他运用杠杆原理以及滑轮巧妙地组合机械,船载满乘客及货物后,阿基米德让国王用手轻轻地拉一条绳子,大船就直线前进了。国王很是惊讶与佩服并立即宣布:“从现在起,阿基米德说的话我们都要相信。”

阿基米德的成就,除杠杆原理外,还有著名的浮力原理:物体在液体中的浮力等于它所排开的液体重量。他也是杰出的数学家,著有《圆的量度》《拋物线的求积》《论螺线》《论球和圆柱》《论劈锥曲面体和球体》《数沙术》《论平板的平衡》等书。阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的2/3倍,这个图形就刻在他的墓碑上。

对数关系公式即为纳皮尔公式,其中“e=2.71828……”对数的发明者是苏格兰业余数学家纳皮尔男爵。自44岁起,经20年潜心研究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,1614年出版了名著《奇妙的对数定律说明书》,对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。伽利略发出了豪言壮语:“给我时间、空间和对数,我可以创造出一个宇宙来。”对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛应用。对数和指数已经成为数学的精髓部分,是每一个中学生必学的内容。

任何两件物体会因质量而互相吸引,吸力大小与质量成正比,与距离的平方成反比。

第五枚邮票立即使人联想到那个早已是家喻户晓的牛顿和苹果的故事。在那个神奇的假期里,一个苹果偶然从树上掉下来,这却是人类思想史的一个转折点,它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍,终于牛顿发现了对人类具有划时代意义的万有引力定律。

牛顿24岁时,伦敦发生流行病,他便返回故乡,在一年半的时间里有了三个非凡的创见,发明“微积分”,发现“万有引力”,发现“光分七色”。1681年出版《自然哲学的数学原理》,总结出万有引力定律,并提出三大运动定律,建立了古典力学的基本体系,被誉为最伟大的科学著作。

第六个公式是麦克斯韦电磁方程组,该方程组确定了电荷、电流、电场和磁场之间的普遍联系,是电磁学的基本方程。麦克斯韦方程组表明,空间某处只要有变化的磁场就能激发出涡旋电场,而变化的电场又能激发涡旋磁场,交变的电场和磁场互相激发就形成连续不断的电磁振荡即电磁波。由此公式可以证明电磁波在真空中传播的速度等于光在真空中传播的速度,这不是偶然的巧合,而是由于光就是一定波长的电磁波,这便是麦克斯韦创立的光的电磁学说。

麦克斯韦电磁方程组是无线广播的理论基础,因此他被称为“无线年后,赫兹证实麦克斯韦的预测创造出无线电波,开启了无线电时代。这项发现也是爱因斯坦狭义相对论的重要背景。

爱因斯坦说:“麦克斯韦的工作是自牛顿以来,物理学上影响最深远与丰硕的工作。”

流行文化已经将E=mc2变成了印在T恤上的符号,但它可是有史以来最著名的方程式。任何上过中学的人都能将其与爱因斯坦联系起来。而且知道E是能量、m是质量、c是真空中的光速也不难。但我们真的清楚这个公式的全部含义吗?

爱因斯坦的质能方程描述的是令人惊奇的东西,质量和能量是同一事物的两种不同表现形式。这不仅从科学观点的角度震动了世界,而且在哲学上也令人惊奇。

这个公式改变了自17世纪末以来关于宇宙如何运行的基本假设。它颠覆了牛顿的时空概念,用一些更奇怪的东西取代了它:一个扭曲的空间、时间的膨胀和物质与能量之间的关系。

1905年是爱因斯坦“神奇的一年”,26岁的他发表了四篇最富创造性的伟大论文,使他获得博士学位、1921年诺贝尔奖、并创立狭义相对论。相对论推论的结果真是匪夷所思,令人不敢置信,可是后来都证实了。现在我们经常听到的黑洞、时光旅行、空间弯曲等等好像是科幻名词,都是由相对论推导而来。

令爱因斯坦最感后悔的是,在1939年他写了一封信给美国总统罗斯福,促成的研究,因此与罗素合作,极力向世人呼吁禁止核子武器的开发和使用。

德布罗意本来是学历史的,受数学家庞加莱的影响而改学科学。1924年,他在博士论文中提出“物质波”的概念,轰动全世界,他认为任何实物、粒子都同时具有波与粒子两种性质,还运用爱因斯坦的相对论,导出物质波波长的公式。他的看法后来被戴维森的实验证实。而物质波的概念也为波动力学的发展提供了重要的理论基础。

当德布罗意的论文发表后,爱因斯坦惊叹不已,称道:“瞧瞧吧,看来疯狂,可真是站得住脚呢!他揭开了一幅大幕的一角。”也惊动了老一辈物理学家:“这些青年人认为,拋弃物理学中老的概念简直易如反掌!”

量子力学不仅是理论物理学,也是科学哲学研究的范畴,甚至影响了我们日常生活中的一些基本假定。量子力学有三个革命性的概念。第一个就是德布罗意的波、粒二重性——在微观世界里,很多东西具有波动和粒子双重的特性。第二个是说所有的物理事实都只具有或然性,而没有必然性。与古典物理学认为事件有确实性和可决定性相反。第三个是海森堡的测不准原理——测量粒子时,我们不能同时确切地知道粒子的位置和速度,若我们测量到粒子的位置越准确,则所知的速度越不准确,反之亦然。

1854年,德国科学家克劳修斯首先引入熵的概念,这是对表示封闭体系杂乱程度的一个量,熵是希腊语“变化”的意思。这个量在可逆过程中不会变化,在不可逆过程中会变大。就像懒人的房间,若没有人替他收拾打扫,房间只会杂乱下去,决不会变得整齐。生物也离不开“熵增则”,生物需要从体外吸收负熵来抵消熵的增大。

1877年,玻尔兹曼用下面的关系式来表示系统的无序性的大小:S=kLnW,其中k为玻尔兹曼常数,s是宏观系统熵值,是分子运动或排列混乱程度的衡量尺度。W是可能的微观态数。W越大,系统就越混乱无序。由此可以看出熵的微观意义:熵是系统内分子热运动无序性的一种量度。

嫦娥奔月、万户飞天,人类对空间的向往由来已久,并为此进行着不懈努力。征服太空的关键是火箭技术。

说到现代火箭,就要提到公认的宇航理论先驱者,前苏联学者齐奥尔科夫斯基。正是他提出利用火箭进行星际航行和发射卫星的可能性,并建立了火箭结构特点与飞行速度之间的关系式,即著名的齐奥尔科夫斯基公式,它成为人类征服太空的钥匙。

在《地球与天空的梦想》里,齐奥尔科夫斯基有一句十分精辟的名言:“地球是人类的摇篮,但是人不能永远生活在摇篮里。”

时代日新月异,除了上述10个历史长河里的重要方程,还有一些方程正在为当下奠基,改变了我们触手可及的生活。

这个搜索引擎设法给出了一个重要的等式。它使用定位公式(PageRank)通过潜入数十亿个网页,从任意语言的数以千计的常用词中为用户选择信息。

德·摩根定律是信息技术的基础,是最简单、最有用的逻辑工具。德·摩根定律在数理逻辑的定理推演、计算机的逻辑设计以及数学的集合运算中都发挥着重要的作用。

德·摩根定律创造了我们周围的世界,从医疗器械到工业工具以及计算机设备等科技奇迹。该定律为芯片提供了理论基础。

资料来源:搜狐网,《参考消息》(08~09版图片为1971年尼加拉瓜发行的“改变世界面貌的十个数学公式”邮票)